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【メンバー日記】【音響学入門】三角関数と波の式


ピアノのたった1音や2音に感動することってありますよね。
でも不思議なんです。元も子もないことを敢えて言いますが、音ってただの空気の振動じゃないですか。それが鼓膜に伝わって電気信号に変換され、脳に送られるだけですよね。しかしどうやら人間は、空気の振動に心が動かされるようです。僕も例外ではありません。

どんな音が人の感情に影響を与えるのか、とても興味があります。音響心理学という分野があるそうです。その前にまずは物理現象としての音って何なんでしょうか。良かったら一緒に勉強しましょう!

こんな方に読んで頂ければ…
・音という物理現象に興味がある方
・PCスキル(Excelやプログラミングなど)を向上させたい方
・暇な方

なるべく高校生くらいでも分かる内容、文章を心掛けます。僭越ながら、演習問題(エチュード)を考えてみました笑。末尾に載せます。好奇心旺盛な方、新しいことやってみたい方、ぜひチャレンジしてみてください!


** 三角関数と波の式 **

音とは空気の周期的な振動です。周期的な現象を表すのによく三角関数を使います。高校で習ったかもしれませんが復習のつもりで読んで頂ければ。



半径r=1の円を単位円と言います。上の図では単位円の円周上に動点Pという点を置きました。Pからx軸に垂線を下ろすと直角三角形ができますね。
三角関数とは直角三角形の辺の長さの比です。図のように辺a,bとすると、

sinθ=b/r
cosθ=a/r

というのが三角関数です。今r=1ですので、sinθ=bとなります。

では動点Pが反時計回りにグルグルしはじめるとbの値は時間で変わっていきます。回る速度を角周波数ωといいます。t秒後の角度θはωtになります。横軸を時間、縦軸をbの大きさとするとbとtの関係は以下の式が成り立ちます。

b=sin(ωt)

ωにある値を入れてプロットしたのが下の図です。



なんということでしょう。波になりました。縦軸が振幅を表していて、Aがこの波の振幅です(この例では1)。横軸が時間を表していて、Tがこの波の周期です(この例では0.5sec)。周期とは波のような繰り返しがある現象が繰り返すための時間です。先程出てきた動点Pが単位円グルっと1周する時間です。周期の逆数を周波数fといいます。1秒あたりに波が何周期含まれているかで単位はヘルツHzです。式で書くと

f=1/T

です。弧度法では角度が円周の長さに対応するので、度数法の360°は弧度法では2πになります。したがってωT=2πrでr=1ですから、角周波数ωは周波数fと以下の関係があります。

ω=2π/T=2πf

ということで、長くなりましたが一般的な波の式は以下のようになります。

y = Asin(2πft)

yが縦軸、Aが振幅、fが周波数、tが時間です。
特にsinの関数で表せる波を正弦波(サインウェーブ)と言います。上の波ではA=1、f=2Hzを設定していました。

上手く説明できたか分からないのですが、波のような周期的な現象を考えるとき正弦波をよく使うので覚えておきましょう!以上です。



** 演習問題(サインウェーブのエチュード) **

方法は何でも構いません!取っつきにくい人は、まず紙と鉛筆でやってみましょう!
問1)振幅1、周波数10Hzの正弦波を図示してください。
問2)そのまま振幅を20倍にしてみてください。
問3)そのまま周波数を440Hzにしてみてください。

※コンピュータで波形を描くのに大事な概念をお伝えしていませんでした。が、やってるうちに多分なんとかなると思います笑


** ヒント(表計算ソフト編) **

ExcelやGoogleスプレッドシートなど表計算ソフトで作図する場合です。個人的には下記のOctaveというソフトをオススメします。
Googleスプレッドシートによる問1の回答例を添付します。




** ヒント(Octave編)★オススメ **

プログラミングやってみたいという方には、GNU Octaveという数値計算ソフトをぜひオススメします。こちらの方がExcelとかより簡単だと思います。自分はR&Dの仕事をやっていてMATLABをよく使うのですが、そのフリー版ソフトのようなものです。結構直感的に曖昧に書けて便利な言語です。
そもそもプログラミングって何だー教えてくれー!っていうご要望があれば別途お答えします!

1, GNU Octaveでweb検索してインストールしてください。(Windows版もLinux版もあります)
2, 振幅、周波数を設定します。
3, 時間軸を設定します。
4, 波の式を計算させます。(sinという関数)
5, plot関数で波をプロットします。

問1のサンプルコードと回答例を添付します。Octaveの操作画面です。




ご質問等は練習会などでお会いできたとき、自分の分かる範囲になってしまいますがお答えしたいと思います。
もっと内容のレベル落としてくれー(or上げてくれー)!とか、内容間違ってるじゃないかー!など、ご意見ご感想ご指摘ご批判お待ちしております。

次回(?)、重ね合わせの原理とフーリエ級数!お楽しみに。


by R.Y.
「天使にラブソングを…」という映画を観てまた音楽やりたくなった人。
ピアノを真面目に習い始めてもうすぐ1年。
最近、スランプ気味であまり進捗ありません。
脱理系を目指しています(矛盾)

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